Des mathématiques au français - Corrigé

Soit $f$  une fonction définie sur $\mathbb{R}$  et $\left(u_n\right)$  une suite définie sur $\mathbb{N}$ .  Écrire en français le s énoncés mathématiques suivants, puis expliciter ce que l'on peut en déduire.

1. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f(x)=3$
Pour tout réel $x$ , $f(x)$  est égal à 3.
La fonction  $f$ est constante égale à 3.

2. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f(x)\ne 3$
Pour tout réel $x$ , $f(x)$  est différent de 3.
La fonction  $f$ ne prend pas la valeur 3.
Ou : 3 n'admet pas d'antécédent par la fonction $f$ .

3. $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R};f(x)=3$
Il existe un réel $x$  tel que  $f(x)$  est égal à 3.
3 admet un antécédent par $f$ .

4. $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R};f(x)\ne 3$
Il existe un réel $x$  tel que  $f(x)$  est différent de 3.
La fonction $f$  n'est pas constante égale à 3.

5. $\mathrm{\exists }T\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast };\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$
Il existe un réel $T$  strictement positif tel que, pour tout réel $x$ ,  $f(x+T)$ est égal à $f(x)$ .
La fonction $f$  est périodique.

6. $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R};f(-x)\ne f(x)$
Il existe un réel $x$  tel que $f(-x)$  est différent de $f(x)$ .
La fonction $f$  n'est pas paire.

7. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+1}>u_n$
Pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}$  est strictement supérieur à $u_n$ .
La suite $\left(u_n\right)$  est strictement croissante.

8. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N};u_{n+1}>u_n$
Il existe un entier naturel $n$  tel que $u_{n+1}$  est strictement supérieur à $u_n$ .
La suite $\left(u_n\right)$  n'est pas décroissante.

9. $\mathrm{\exists }m\in \mathbb{R};\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_n⩾m$
Il existe un réel $m$  tel que, pour tout entier naturel $n$ ,  $u_n$ est supérieur ou égal à $m$ .
La suite $\left(u_n\right)$  est minorée.

10. $\mathrm{\forall }m>0,\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N};n⩾n_0\Rightarrow u_n⩾m$
Pour tout réel $m$  strictement positif, il existe un entier naturel $n_0$  tel que  $n$  supérieur ou égal $n_0$  implique $u_n$  supérieur ou égal à $m$ .
La suite $\left(u_n\right)$  tend vers $+\mathrm{\infty }$ .