Des mathématiques au français - Corrigé

Soit `f`  une fonction définie sur \(\mathbb R\)  et `\left(u_{n}\right)`  une suite définie sur `\mathbb N` .  Écrire en français le s énoncés mathématiques suivants, puis expliciter ce que l'on peut en déduire.

1. \(\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)=3\)
Pour tout réel `x` , `f(x)`  est égal à 3.
La fonction  `f` est constante égale à 3.

2. \(\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)\neq3\)
Pour tout réel `x` , `f(x)`  est différent de 3.
La fonction  `f` ne prend pas la valeur 3.
Ou : 3 n'admet pas d'antécédent par la fonction `f` .

3. \(\exists x\in\mathbb{R}\ ;\,f(x)=3\)
Il existe un réel \(x\)  tel que  `f(x)`  est égal à 3.
3 admet un antécédent par `f` .

4. \(\exists x\in\mathbb{R}\ ;\,f(x)\neq3\)
Il existe un réel \(x\)  tel que  `f(x)`  est différent de 3.
La fonction `f`  n'est pas constante égale à 3.

5. \(\exists T\in\mathbb{R}^{*}_+\ ;\ \forall x\in\mathbb{R},\,f(x+T)=f(x)\)
Il existe un réel \(T\)  strictement positif tel que, pour tout réel \(x\) ,  \(f(x+T)\) est égal à `f(x)` .
La fonction `f`  est périodique.

6. \(\exists x\in\mathbb{R}\ ;\,f(-x)\ne f(x)\)
Il existe un réel `x`  tel que \(f(-x)\)  est différent de `f(x)` .
La fonction `f`  n'est pas paire.

7. \(\forall n\in \mathbb N,\,u_{n+1}>u_n\)
Pour tout entier naturel `n` , `u_{n+1}`  est strictement supérieur à `u_n` .
La suite \(\left(u_{n}\right)\)  est strictement croissante.

8. \(\exists n\in \mathbb N\ ;\,u_{n+1}>u_n\)
Il existe un entier naturel `n`  tel que `u_{n+1}`  est strictement supérieur à `u_n` .
La suite \(\left(u_{n}\right)\)  n'est pas décroissante.

9. \(\exists m\in\mathbb{R}\ ;\,\forall n\in\mathbb{N},\,u_{n}\geqslant m\)
Il existe un réel `m`  tel que, pour tout entier naturel `n` ,  `u_n` est supérieur ou égal à `m` .
La suite \(\left(u_{n}\right)\)  est minorée.

10. \(\forall m>0,\,\exists n_{0}\in\mathbb{N}\ ;\,n\geqslant n_{0}\Rightarrow u_{n}\geqslant m\)
Pour tout réel `m`  strictement positif, il existe un entier naturel `n_0`  tel que  `n`  supérieur ou égal `n_0`  implique `u_n`  supérieur ou égal à `m` .
La suite \(\left(u_{n}\right)\)  tend vers `+\infty` .